Question

7．在数列{a_n}中，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，且a₁=2，则a_n=$\frac{2}{2n-1}$．

Answer 1

分析 把已知数列递推式变形，得到$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=1$，由此可得数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为公差的等差数列，求出其通项公式后可得a_n．

解答 解：由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}+1$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=1$．
又$\frac{1}{{a}_{1}}=\frac{1}{2}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$为首项，以1为公差的等差数列，
则$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{2}+1×（n-1）=n-\frac{1}{2}=\frac{2n-1}{2}$，
∴${a}_{n}=\frac{2}{2n-1}$．
故答案为：$\frac{2}{2n-1}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式的求法，属中档题．