Question

19、已知命题p：关于x的不等式x²+（a-1）x+1≤0的解集为空集φ；命题q：函数y=（a-1）^x为增函数，若命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：根据题意得命题p、q有且仅有一个为真命题，分别讨论“p真q假”与“p假q真”即可得出实数a的取值范围．

解答：解：命题p：关于x的不等式x²+（a-1）x+1≤0的解集为空集φ，
所以（a-1）²-4＜0，即a²-2a-3＜0，（2分）
所以-1＜a＜3，（3分）
则p为假命题时：a≤-1或a≥3；（4分）
由命题q：函数y=（a-1）^x为增函数，
所以a-1＞1，所以a＞2，（5分）
则q为假命题时：a≤2；（6分）
命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p、q中一真一假，（8分）
若p真q假，则-1＜a≤2，（9分）
若p假q真，则a≥3，（11分）
所以实数a的取值范围为-1＜a≤2或a≥3．（12分）

点评：本题考查了命题真假的判断与应用，属于中档题，解题时注意分类讨论思想的应用．