Question

3．已知命题p：实数x满足（x-a）（x-3a）＜0（a＞0），命题q：实数x满足x²-5x+6＜0．
（1）当a=1时，若p∧q为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 记命题p：x∈A，命题q：x∈B
（1）由a=1时，求出A，B；通过p∧q为真，p，q均为真命题，求出则x的取值范围是（2，3）．
（2）求出A=（a，3a），B=（2，3），利用q是p的充分条件列出不等式$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3a≥3}\end{array}\right.$，求解即可

解答 解：记命题p：x∈A，命题q：x∈B
（1）由a=1时，A={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜3}，
因为p∧q为真，所以p，q均为真命题，
则x∈A∩B，
所以x的取值范围是（2，3）
（2）A=（a，3a），B=（2，3）
因为q是p的充分条件
所以知集合B⊆A，
则$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3a≥3}\end{array}\right.$，
解得1≤a≤2，
综上所述：a的取值范围是[1，2]

点评 本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件以及复合命题的真假，是基本知识的考查．