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已知α,β是方程4x2-4kx-1=0(k∈R)的两个不等实根,函数数学公式的定义域为[α,β].
(Ⅰ)判断函数f(x)在定义域内的单调性,并证明.
(Ⅱ)记:g(k)=maxf(x)-minf(x),若对任意k∈R,恒有数学公式成立,
求实数a 的取值范围.

解:(Ⅰ)证一:设α≤x1<x2≤β,则4x12-4tx1-1≤0,4x22-4tx2-1≤0,



故f(x)在区间[α,β]上是增函数. ….….(6分)
证二:
易知:当x∈[α,β]时,4x2-4kx-1≤0,∴
故f(x)在区间[α,β]上是增函数.
(Ⅱ)恒成立.,∴…(13分)
分析:(Ⅰ)证一:根据题意可设α≤x1<x2≤β,利用4x12-4tx1-1≤0,4x22-4tx2-1≤0,求得,从而可判断的符号,即可判断函数f(x)在定义域内的单调性;
证二:可求f′(x),利用x∈[α,β]时,4x2-4kx-1≤0可得,从而可判断f′(x)的符号,可以判断函数f(x)在定义域内的单调性;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)在区间[α,β]上是增函数,maxf(x)=f(β),minf(x)=f(α),,分离出a,即整理成k是a的函数,利用基本不等式可求得a的取值范围.
点评:本题考查函数单调性及其证明,难点在于证法一中“”符号的确定及证法二中“”的分析,考查学生的综合分析与转化能力,属于难题.
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a
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