Question

（2013•辽宁二模）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x²+2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，并根据
（1）写出函数f（x）（x∈R）的增区间；
（2）写出函数f（x）（x∈R）的解析式；
（3）若函数g（x）=f（x）-2ax+2（x∈[1，2]），求函数g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出f（x）的图象，由图象可得f（x）的单调递增区间；
（2）令x＞0，则-x＜0，根据条件可得f（-x）=x²-2x，利用函数f（x）是定义在R上的偶函数，可得f（x）=f（-x）=x²-2x，从而可得函数f（x）的解析式；
（3）先求出抛物线对称轴x=a-1，然后分当a-1≤1时，当1＜a-1≤2时，当a-1＞2时三种情况，根据二次函数的增减性解答．

解答：解：（1）如图，根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出f（x）的图象，（2分），
则f（x）的单调递增区间为（-1，0），（1，+∞）；（5分）
（2）令x＞0，则-x＜0，∴f（-x）=x²-2x
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（x）=f（-x）=x²-2x
∴解析式为f（x）=

x2+2x，x≤0 x2-2x，x＞0

（10分）
（3）g（x）=x²-2x-2ax+2，对称轴为x=a+1，
当a+1≤1时，g（1）=1-2a为最小；
当1＜a+1≤2时，g（a+1）=-a²-2a+1为最小；
当a+1＞2时，g（2）=2-4a为最小；
∴g（x）=

1-2a，a≤0 -a2-2a+1，0＜a≤1 2-4a，a＞1

．（16分）

点评：本题考查函数图象的作法，考查函数解析式的确定与函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．