Question

8．设数列{a_n}是公差为2的等差数列，数列{b_n}的前n项和S_n，满足2S_n=3ⁿ⁺¹-3且a₂=b₁．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，设T_n为{c_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由n=1时，b₁=S₁；n＞1时，b_n=S_n-S_n-1=，可得b_n=3ⁿ，再由等差数列的通项公式可得a_n=2n-1；
（2）求得c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3ⁿ，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）2S_n=3ⁿ⁺¹-3，即为S_n=$\frac{1}{2}$（3ⁿ⁺¹-3），
当n=1时，b₁=S₁=3，
n＞1时，b_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$（3ⁿ⁺¹-3）-$\frac{1}{2}$（3ⁿ-3）=3ⁿ，
综上可得b_n=3ⁿ，
由a₂=b₁=3，d=2，可得a₁=1，
a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（2）c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3ⁿ，
T_n=1•3+3•3²+5•3³+…+（2n-1）•3ⁿ，
即有3T_n=1•3²+3•3³+5•3⁴+…+（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
两式相减可得，-2T_n=3+2（3²+3³+3⁴+…+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=3+2•$\frac{9（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
化简可得T_n=3+（n-1）•3ⁿ⁺¹．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．