Question

18．抛物线：x²=2py（p＞0）内接Rt△OAB（O为坐标原点）的斜边为AB，点O到直线AB的距离的最大值为（　　）

• A． 2p
• B． p
• C． $\frac{p}{2}$
• D． $\frac{p}{4}$

Answer 1

分析 当直线AB∥x轴时，由抛物线的对称性可取直线OA：y=x，与抛物线方程联立可得：A（2p，2p），B（-2p，2p）．此时直线经过定点G（0，2p）．下面证明：直线AB经过定点G（0，2p）．设直线AB的方程为：y=kx+b，（b≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与抛物线方程联立化为：x²-2pkx-2pb=0，由$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，把根与系数的关系代入即可得出b=2p．

解答 解：当直线AB∥x轴时，由抛物线的对称性可取直线OA：y=x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，解得A（2p，2p），同理可得B（-2p，2p）．
此时直线经过定点G（0，2p）．
下面证明：直线AB经过定点G（0，2p）．
设直线AB的方程为：y=kx+b，（b≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，
化为：x²-2pkx-2pb=0，
△＞0．
∴x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-2pb．
∵$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂
=x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）
=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²
=-2pb（1+k²）+2k²b²+b²
=-2pb+b²=0，
∴b=2p．
∴直线AB经过定点G（0，2p）．
∵当直线AB不垂直y轴时，点O到直线AB的距离d＜2p．
因此：点O到直线AB的距离的最大值为2p．
故选：A．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、向量垂直与向量数量积运算性质的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．