Question

6．设a为正实数，函数f（x）=ax，g（x）=lnx．
（1）求函数h（x）=f（x）•g（x）的极值；
（2）证明：?x₀∈R，使得当x＞x₀时，f（x）＞g（x）恒成立．

Answer 1

分析 （1）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）先求出当直线和y=lnx相切时a的取值，然后进行讨论求解即可．

解答 解：（1）h（x）=ax•lnx，（a＞0），
则h′（x）=a（lnx+1），
令h′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，
令h′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
∴h（x）在（0，$\frac{1}{e}$）递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）递增，
∴h（x）_极小值=h（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{a}{e}$，无极大值；
（2）g（x）=lnx，f（x）=ax，（x＞0），（a＞0）
则g′（x）=$\frac{1}{x}$，当g（x）与f（x）相切时，设切点为（m，lnm），
则切线斜率k=$\frac{1}{m}$，
则过原点且与g（x）相切的切线方程为y-lnm=$\frac{1}{m}$（x-m）=$\frac{1}{m}$x-1，
即y=$\frac{1}{m}$x-1+lnm，
∵g（x）=ax，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{m}=a}\\{-1+lnm=0}\end{array}\right.$，得m=e，a=$\frac{1}{e}$．
即当a＞$\frac{1}{e}$时，ax＞lnx恒成立．
当a=$\frac{1}{e}$时，当x₀≥$\frac{1}{e}$时，
要使ax＞lnx恒成立．得当x＞x₀时，ax＞lnx恒成立．
当0＜a＜$\frac{1}{e}$时，g（x）与f（x）有两个不同的交点，不妨设较大的根为x₁，当x₀≥x₁时，
当x＞x₀时，ax＞lnx恒成立．
∴?a＞0，?x₀∈R，使得当x＞x₀时，f（x）＞g（x）恒成立．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数求函数的导数，利用导数是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力．