Question

11．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，M，N分别为PB，CD的中点，二面角P-CD-A的大小为60°，∠ABC=60°，AB=2，PC=PD=$\sqrt{13}$
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）连结AN，根据三线合一可得AN⊥CD，PN⊥CD，于是得出CD⊥平面PAN，故而PA⊥CD，计算AN，PN，利用余弦定理求出PA，得出PA⊥AN，从而得出PA⊥平面ABCD；
（II）以A为原点建立空间坐标系，求出平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$，则|cos＜$\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{n}$＞|即为所求．

解答 证明：（I）连结AN，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∵N是CD的中点，PC=PD，
∴AN⊥CD，PN⊥CD，
∴∠PNA为二面角P-CD-A的平面角，且CD⊥平面PAN．
∴PA⊥CD，∠PNA=60°．
∵AB=AD=2，PC=PD=$\sqrt{13}$．∴AN=$\sqrt{3}$，PN=$\sqrt{P{C}^{2}-C{N}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
在△PAN中，由余弦定理得PA²=AN²+PN²-2AN•PNcos60°=3+12-2$•\sqrt{3}•2\sqrt{3}•\frac{1}{2}$=9．
∴PA²+AN²=PN²，∴PA⊥AN，
又CD?平面ABCD，AN?平面ABCD，AN∩CD=N，
∴PA⊥平面ABCD．
（II）以A为原点，以AB，AN，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则A（0，0，0），B（2，0，0），N（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，3），C（1，$\sqrt{3}$，0），D（-1，$\sqrt{3}$，0）．
∴M（1，0，$\frac{3}{2}$）．
∴$\overrightarrow{MN}$=（-1，$\sqrt{3}$，-$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{PC}$=（1，$\sqrt{3}$，-3），$\overrightarrow{CD}$=（-2，0，0）．
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0$，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y-3z=0}\\{-2x=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}$，1）．
∴$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{n}$=$\frac{3}{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{MN}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{MN}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{2•\frac{5}{2}}$=$\frac{3}{10}$．
∴直线MN与平面PCD所成角的正弦值为$\frac{3}{10}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，空间向量的应用，线面角的计算，属于中档题．