Question

20．已知抛物线C：y²=-2px（p＞0）的焦点坐标为F，在抛物线C上存在点M，使得点F关于M的对称点恰好在直线1：x+y-2=0上，且|MF|=1．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线MF与抛物线C的另一个交点为N，点P在y轴上，求$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的焦点和准线方程，设M（m，n），运用抛物线的定义和M在抛物线上，解方程即可得到所求抛物线的方程；
（2）求得M，F的坐标，可得直线MF的方程，代入抛物线的方程，运用韦达定理可得N的坐标，运用向量的数量积的坐标表示和二次函数的最值的求法，即可得到最小值．

解答 解：（1）抛物线C：y²=-2px（p＞0）的焦点坐标为F（-$\frac{p}{2}$，0），准线方程为x=$\frac{p}{2}$，
设M（m，n），点F关于M的对称点为（2m+$\frac{p}{2}$，2n），
由题意可得2m+$\frac{p}{2}$+2n=2，①
由抛物线的定义可得|MF|=$\frac{p}{2}$-m=1，②
又n²=-2pm，③
由②可得p=2（m+1），代入②③可得，
n=$\frac{1}{2}$（1-3m），且n²=-4m（m+1），
即有25m²+10m+1=0，
解得m=-$\frac{1}{5}$，可得p=$\frac{8}{5}$，
则抛物线C的方程为y²=-$\frac{16}{5}$x．
（2）由（1）可得M（-$\frac{1}{5}$，$\frac{4}{5}$），F（-$\frac{4}{5}$，0），
可得直线MF的方程为y=$\frac{4}{3}$（x+$\frac{4}{5}$），
代入抛物线的方程y²=-$\frac{16}{5}$x，可得
$\frac{16}{9}$x²+$\frac{272}{45}$x+$\frac{256}{225}$=0，
设N（x₁，y₁），即有-$\frac{1}{5}$x₁=$\frac{16}{25}$，
可得x₁=-$\frac{16}{5}$，y₁=$\frac{4}{3}$×（-$\frac{12}{5}$）=-$\frac{16}{5}$，
即N（-$\frac{16}{5}$，-$\frac{16}{5}$），
设P（0，t），即有$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=（-$\frac{1}{5}$，$\frac{4}{5}$-t）•（-$\frac{16}{5}$，-$\frac{16}{5}$-t）
=$\frac{16}{25}$+（$\frac{4}{5}$-t）（-$\frac{16}{5}$-t）=t²+$\frac{12}{5}$t-$\frac{48}{25}$=（t+$\frac{6}{5}$）²-$\frac{84}{25}$．
当t=-$\frac{6}{5}$时，$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$的最小值为-$\frac{84}{25}$．

点评 本题考查抛物线的方程的求法，注意运用抛物线的定义和点满足抛物线的方程，考查向量数量积的最值的求法，注意运用直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及二次函数的最值求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．