Question

9．已知抛物线C：y²=4x的交点为F，直线y=x-1与C相交于A，B两点，与双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=2（a＞0，b＞0）的渐近线相交于M，N两点，若线段AB与MN的中点相同，则双曲线E的离心率为$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设线段AB与MN的中点E（x₀，y₀）．直线方程与抛物线方程联立化为y²-4y-4=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得E（3，2）．
y=x-1分别与渐近线方程联立解得A，B，利用中点坐标公式可得E，设$\frac{b}{a}$=t，可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+{t}^{2}}$．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设线段AB与MN的中点E（x₀，y₀）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为y²-4y-4=0，∴y₁+y₂=4，∴y₀=2，x₀=3，∴E（3，2）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$，解得A$（\frac{a}{a-b}，\frac{b}{a-b}）$，B$（\frac{a}{a+b}，\frac{-b}{a+b}）$．
∴$\frac{a}{a-b}$+$\frac{a}{a+b}$=6，设$\frac{b}{a}$=t，
∴$\frac{1}{1-t}$-$\frac{1}{1+t}$=6，解得t²=$\frac{2}{3}$．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+{t}^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

点评 B本题考查了抛物线与双曲线的标准方程及其性质、中点坐标公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．