Question

4．已知抛物线Q：y²=2px（p＞0）．
（1）若Q上任意一点到焦点F的距离的最小值为1，求实数p的值．
（2）若点A在x轴上且在焦点F的右侧，以FA为直径的圆与抛物线在x轴上方交于不同的两点M，N，求证：FM+FN=FA．

Answer 1

分析 （1）设Q（x₀，y₀），（x₀≥0），利用定义可得：|QF|=x₀+$\frac{p}{2}$≥$\frac{p}{2}$，即可得出．
（2）设A（t，0），t＞$\frac{p}{2}$．M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．可得线段FA的中点G$（\frac{t+\frac{p}{2}}{2}，0）$．可得⊙G的方程，结合抛物线化为：x²+$（\frac{3p}{2}-t）$x+$\frac{pt}{2}$=0．由于|FM|+|FN|=x₁+x₂+p，及|FA|=t-$\frac{p}{2}$．即可证明．

解答 （1）解：设Q（x₀，y₀），（x₀≥0），则|QF|=x₀+$\frac{p}{2}$≥$\frac{p}{2}$=1，解得p=2．
（2）证明：设A（t，0），t＞$\frac{p}{2}$．M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
可得线段FA的中点G$（\frac{t+\frac{p}{2}}{2}，0）$．
∴⊙G的方程为：$（x-\frac{t+\frac{p}{2}}{2}）^{2}$+y²=$（\frac{t+\frac{p}{2}}{2}-\frac{p}{2}）^{2}$，
化为${x}^{2}-（t+\frac{p}{2}）$x+y²+$\frac{pt}{2}$=0，又y²=2px．
∴x²+$（\frac{3p}{2}-t）$x+$\frac{pt}{2}$=0．
∴x₁+x₂=t-$\frac{3}{2}$p．
∴|FM|+|FN|=x₁+x₂+p=t-$\frac{1}{2}$p．
又|FA|=t-$\frac{p}{2}$．
∴|FM|+|FN|=|FA|．

点评 本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、圆的方程、曲线相交问题、中点坐标公式，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于难题．