Question

16．已知抛物线y²=2px（p＞0），AB为过抛物线焦点F的弦，AB的中垂线交抛物线E于点M、N．若A、M、B、N四点共圆，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 设l的方程为 x=my+$\frac{p}{2}$ （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=$\frac{1}{2}$|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．

解答 解：设直线AB为l，
由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y²=2px的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），
设l的方程为 x=my+$\frac{p}{2}$（m≠0），
代入抛物线方程可得y²-2mpy-p²=0，显然判别式△=4p²m²+4p²＞0，
y₁+y₂=2mp，y₁•y₂=-p²．
∴AB的中点坐标为D（pm²+$\frac{p}{2}$，mp），弦长|AB|=$\sqrt{{m}^{2}+1}$|y₁-y₂|=2p（m²+1）．
又直线l′的斜率为-m，
∴直线l′的方程为 x=-$\frac{1}{m}$y+pm²+$\frac{3p}{2}$．
过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，
把线l′的方程代入抛物线方程可得 y²+$\frac{2p}{m}$y-p²（2m²+3）=0，
∴y₃+y₄=-$\frac{2p}{m}$，y₃•y₄=-p²（2m²+3）．
故线段MN的中点E的坐标为（$\frac{p}{{m}^{2}}$+pm²+$\frac{3p}{2}$，-$\frac{p}{m}$），
∴|MN|=$\sqrt{1+\frac{1}{{m}^{2}}}$|y₃-y₄|=$\frac{2p（{m}^{2}+1）•\sqrt{2{m}^{2}+1}}{{m}^{2}}$，
∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=$\frac{1}{2}$|MN|，
∴$\frac{1}{4}$AB²+DE²=$\frac{1}{4}$MN²，
∴p²（m²+1）² +（mp+$\frac{p}{m}$）²+（$\frac{p}{{m}^{2}}$+p）=$\frac{1}{4}$$\frac{4{p}^{2}（{m}^{2}+1）（2{m}^{2}+1）}{{m}^{4}}$，化简可得 m²-1=0，
∴m=±1，
∴直线AB的方程为 x-y-$\frac{P}{2}$=0，或 x+y-$\frac{P}{2}$=0．

点评 本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．