Question

15．抛物线C：x²=2y的焦点是F，M是抛物线C上任意一点，过M，F，O（O为坐标原点）三点的圆的圆心为Q，若直线MQ与抛物线C相切于点M，则点M的坐标为M$（±\sqrt{2}，1）$．

Answer 1

分析 F$（0，\frac{1}{2}）$，设M$（t，\frac{{t}^{2}}{2}）$，直线OM的斜率为$\frac{\frac{{t}^{2}}{2}}{t}$=$\frac{t}{2}$，线段OM的中点，可得线段OM的垂直平分线方程为：y-$\frac{{t}^{2}}{4}$=$-\frac{2}{t}$$（x-\frac{t}{2}）$，与线段OF的垂直平分线联立可得圆心：Q$（\frac{{t}^{2}+2t-1}{4}，\frac{1}{4}）$．另一方面：对抛物线C：x²=2y求导可得：y′=x，可得经过点M的抛物线的切线方程为：$y-\frac{{t}^{2}}{2}$=t（x-t），把点Q的坐标代入解出即可得出．

解答 解：F$（0，\frac{1}{2}）$，设M$（t，\frac{{t}^{2}}{2}）$，O（0，0）．
直线OM的斜率为$\frac{\frac{{t}^{2}}{2}}{t}$=$\frac{t}{2}$，线段OM的中点：$（\frac{t}{2}，\frac{{t}^{2}}{4}）$，
∴线段OM的垂直平分线方程为：y-$\frac{{t}^{2}}{4}$=$-\frac{2}{t}$$（x-\frac{t}{2}）$，与线段OF的垂直平分线：y=$\frac{1}{4}$联立可得圆心：Q$（\frac{{t}^{2}+2t-1}{4}，\frac{1}{4}）$．
对抛物线C：x²=2y求导可得：y′=x，∴经过点M的抛物线的切线方程为：$y-\frac{{t}^{2}}{2}$=t（x-t），
把点Q的坐标代入可得：t⁴-t²-2=0，
解得t²=2，∴t=$±\sqrt{2}$，
可得点M$（±\sqrt{2}，1）$．
故答案为：$（±\sqrt{2}，1）$．

点评 本题考查了直线与抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．