Question

3．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），过点M（0，2）的直线l与抛物线交于A，B两点，且直线l与x轴交于点C．
（1）求证：|MC|²=|MA|•|MB|；
（2）设$\overrightarrow{MA}$=α$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{MB}$=$β\overrightarrow{BC}$，试问α+β是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{p}{2}$=1，可得抛物线方程为：y²=4x．设直线l的方程为：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．C$（-\frac{2}{k}，0）$．（k≠0）与抛物线方程联立化为：k²x²+（4k-4）x+4=0，利用根与系数的关系、两点之间的距离公式即可证明|MC|²=|MA|•|MB|．
（2）由$\overrightarrow{MA}$=α$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{MB}$=$β\overrightarrow{BC}$，利用（1）可得：x₁=α$（-\frac{2}{k}-{x}_{1}）$，x₂=β$（-\frac{2}{k}-{x}_{2}）$，α+β=$\frac{-{x}_{1}}{\frac{2}{k}+{x}_{1}}$+$\frac{-{x}_{2}}{\frac{2}{k}+{x}_{2}}$，化简通分利用根与系数的关系即可得出．

解答 （1）证明：由$\frac{p}{2}$=1，解得p=2．∴抛物线方程为：y²=4x．
设直线l的方程为：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．C$（-\frac{2}{k}，0）$．（k≠0）
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为：k²x²+（4k-4）x+4=0，
△＞0．
∴x₁+x₂=$\frac{4-4k}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4}{{k}^{2}}$．
∴|MC|²=$（\frac{2}{k}）^{2}+{2}^{2}$=$\frac{4}{{k}^{2}}$+4．
|MA|•|MB|=$\sqrt{{x}_{1}^{2}+（{y}_{1}-2）^{2}}$$\sqrt{{x}_{2}^{2}+（{y}_{2}-2）^{2}}$=$\sqrt{{x}_{1}^{2}+（k{x}_{1}）^{2}}$$\sqrt{{x}_{2}^{2}+（k{x}_{2}）^{2}}$=（1+k²）×|x₁x₂|=$（1+{k}^{2}）×\frac{4}{{k}^{2}}$=4+$\frac{4}{{k}^{2}}$，
∴|MC|²=|MA|•|MB|．
（2）解：由$\overrightarrow{MA}$=α$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{MB}$=$β\overrightarrow{BC}$，利用（1）可得：x₁=α$（-\frac{2}{k}-{x}_{1}）$，x₂=β$（-\frac{2}{k}-{x}_{2}）$，
∴α+β=$\frac{-{x}_{1}}{\frac{2}{k}+{x}_{1}}$+$\frac{-{x}_{2}}{\frac{2}{k}+{x}_{2}}$=$-\frac{\frac{2}{k}（{x}_{1}+{x}_{2}）+2{x}_{1}{x}_{2}}{\frac{4}{{k}^{2}}+\frac{2}{k}（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{\frac{2}{k}×\frac{4-4k}{{k}^{2}}+\frac{8}{{k}^{2}}}{\frac{4}{{k}^{2}}+\frac{2}{k}×\frac{4-4k}{{k}^{2}}+\frac{4}{{k}^{2}}}$=-1．
∴α+β为定值-1．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．