Question

19．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上的点（6，y₀）到其准线的距离为$\frac{15}{2}$．
（I）证明：抛物线C与直线x-y+8=0无公共点；
（Ⅱ）若A（a，0）（a≠0）过点A的直线l与抛物线交于M，N两点，探究：是否存在定值a，使得$\frac{1}{|AM|}$$+\frac{1}{|AN|}$的值不随直线l的变化而变化．

Answer 1

分析 （I）求得抛物线的焦点和准线方程，由题意可得6+$\frac{p}{2}$=$\frac{15}{2}$，解得p=3，联立直线方程和抛物线的方程，运用判别式小于0，即可得证；
（II）假设存在定值a，使得$\frac{1}{|AM|}$$+\frac{1}{|AN|}$的值不随直线l的变化而变化．设直线l：x=ky+a，与抛物线方程联立，计算|AM|，|AN|，利用$\frac{1}{|AM|}$$+\frac{1}{|AN|}$恒为定值，可求点A的坐标，可得定值a．

解答 解：（I）证明：抛物线C：y²=2px的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），准线为x=-$\frac{p}{2}$，
点（6，y₀）到其准线的距离为$\frac{15}{2}$，可得6+$\frac{p}{2}$=$\frac{15}{2}$，
解得p=3．
即有抛物线为y²=6x，
联立直线x-y+8=0，可得x²+10x+64=0，
由△=100-4×64＜0，可得方程无实数解．
即有抛物线C与直线x-y+8=0无公共点；
（II）假设存在定值a，使得$\frac{1}{|AM|}$$+\frac{1}{|AN|}$的值不随直线l的变化而变化．
设直线l：x=ky+a，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ky+a}\\{{y}^{2}=6x}\end{array}\right.$，可得y²-6ky-6a=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则△=36k²+24a＞0，
即有y₁+y₂=6k，y₁y₂=-6a．
又|AM|=$\sqrt{（a-{x}_{1}）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|y₁|，
|AN|=$\sqrt{（a-{x}_{2}）^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|y₂|，
可设y₁＞0，y₂＜0，
即有$\frac{1}{|AM|}$$+\frac{1}{|AN|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$（$\frac{1}{{y}_{1}}$-$\frac{1}{{y}_{2}}$）=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\frac{\sqrt{36{k}^{2}+24a}}{6a}$
由于要与k无关，只需令24a=36，即a=$\frac{3}{2}$，
进而$\frac{1}{|AM|}$$+\frac{1}{|AN|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\frac{6\sqrt{1+{k}^{2}}}{9}$=$\frac{2}{3}$．
所以，存在定点（$\frac{3}{2}$，0），即存在定值a=$\frac{3}{2}$，
使得$\frac{1}{|AM|}$$+\frac{1}{|AN|}$的值不随直线l的变化而变化．

点评 本题考查抛物线的方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，以及恒过定点问题的解法，考查运算能力，属于中档题．