Question

14．如表中的数阵为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为a_ij，则数字109在表中出现的次数为12．

2	3	4	5	6	7	…
3	5	7	9	11	13	…
4	7	10	13	16	19	…
5	9	13	17	21	25	…
6	11	16	21	26	31	…
7	13	19	25	31	37	…
…	…	…	…	…	…	…

Answer 1

分析 第1行数组成的数列a_ij（j=1，2，…）是以2为首项，公差为1的等差数列，第j列数组成的数列a_ij（i=1，2，…）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，求出通项公式，就求出结果．

解答 解：第i行第j列的数记为a_ij．那么每一组i与j的组合就是表中一个数．
因为第一行数组成的数列a_1j（j=1，2，…）是以2为首项，公差为1的等差数列，
所以a_1j=2+（j-1）×1=j+1，
所以第j列数组成的数列a_ij（i=1，2，…）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，
所以a_ij=（j+1）+（i-1）×j=ij+1．
令a_ij=ij+1=109，
∴ij=108=1×108=2×54=3×36=4×27=6×18=12×9=9×12=18×6=27×4=36×3=54×2=108×1，
所以，表中109共出现12次．
故答案为：12

点评 本题考查了行列模型的等差数列应用，解题时利用首项和公差写出等差数列的通项公式，运用通项公式求值，是中档题．