Question

2．抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F为圆C：x²+y²-4x+3=0的圆心
（1）求抛物线的准线方程；
（2）直线l与圆C相切，交抛物线A、B两点，求$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由圆C：x²+y²-4x+3=0配方可得：（x-2）²+y²=1，可得圆心C（2，0）．可得抛物线的焦点F（2，0）．因此$\frac{p}{2}$=2，解得p，即可得出．
（2）设直线l的方程为：my+t=x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由直线l与圆C相切，可得：（t-2）²=m²+1≥1．t≥3，或t≤1．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my+t=x}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，化为：y²-8my-8t=0，△＞0．进而得到t≥3，或-2m²＜t≤1．利用数量积运算性质、根与系数的关系可得：$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂═-15t²+52t-44=$-15（t-\frac{26}{15}）^{2}$+$\frac{16}{15}$，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）由圆C：x²+y²-4x+3=0配方可得：（x-2）²+y²=1，可得圆心C（2，0）．
∴抛物线的焦点F（2，0）．
∴$\frac{p}{2}$=2，解得p=4．
∴抛物线的准线方程为：x=-2．
（2）设直线l的方程为：my+t=x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵直线l与圆C相切，∴$\frac{|2-t|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=1，化为：（t-2）²=m²+1≥1．
∴t≥3，或t≤1．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my+t=x}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，化为：y²-8my-8t=0，
△=64m²+32t＞0．∴t＞-2m²．
∴t≥3，或-2m²＜t≤1．
∴y₁+y₂=8m，y₁y₂=-8t．
∴$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=（my₁+t-2）（my₂+t-2）+y₁y₂
=（m²+1）y₁y₂+m（t-2）（y₁+y₂）+（t-2）²
=-8t（m²+1）+8m²（t-2）+（t-2）²
=-8t（t-2）²+8[（t-2）²-1]（t-2）+（t-2）²
=-15t²+52t-44
=$-15（t-\frac{26}{15}）^{2}$+$\frac{16}{15}$∈（-∞，-7]．
∴$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$的取值范围是（-∞，-7]．

点评 本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、直线与抛物线相交问题、向量数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．