Question

12．已知抛物线C：y²=2px（p＞0），其焦点为F（1，0），过F作斜率为k的直线交抛物线C于A、B两点，交其准线于P点．
（Ⅰ）求P的值；
（Ⅱ）设|PA|+|PB|=λ|PA|•|PB|•|PF|，若k∈[$\frac{1}{4}$，1]，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用抛物线的焦点坐标，计算即可得到所求方程；
（Ⅱ）由题可知：直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠0），准线l的方程为x=-1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）因为焦点F（1，0），所以$\frac{p}{2}=1$，解得p=2．    …（4分）
（Ⅱ）由题可知：直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠0），准线的方程为x=-1…（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$|{PA}|=\sqrt{1+{k^2}}（{{x_1}+1}），|{PB}|=\sqrt{1+{k^2}}（{{x_2}+1}），|{PF}|=2\sqrt{1+{k^2}}$．…（8分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x-1}）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$消去y得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
故${x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}，{x_1}{x_2}=1$．                          …（10分）
由|PA|+|PB|=λ|PA|•|PB|•|PF|得$（{{x_1}+1}）+（{{x_2}+1}）=2λ（{1+{k^2}}）•（{{x_1}+1}）•（{{x_2}+1}）$
解得$λ=\frac{1}{{2（{1+{k^2}}）}}$．（13分），
因为k∈[$\frac{1}{4}$，1]，所以λ∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{8}{17}$]．     …（15分）

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和抛物线的方程联立，运用韦达定理，注意运用弦长公式和抛物线的定义，考查运算能力，属于中档题．