Question

20．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：
（1）AC₁∥平面B₁CD；
（2）AC⊥BC₁．

Answer 1

分析 （1）设BC₁与B₁C的交点为O，连结OD，推导出OD∥AC₁，由此能证明AC₁∥平面B₁CD．
（2）由CC₁⊥平面ABC，得CC₁⊥AC，又AC⊥BC，由此能证明AC⊥BC₁．

解答 证明：（1）设BC₁与B₁C的交点为O，连结OD，
BCC₁B₁为平行四边形，所以O为B₁C中点，又D是AB的中点，
所以OD是△ABC₁的中位线，OD∥AC₁，
又因为AC₁?平面B₁CD，OD?平面B₁CD，
所以AC₁∥平面B₁CD．
（2）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，
所以CC₁⊥AC，又AC⊥BC，BC∩CC₁=C，
所以AC⊥平面BCC₁B₁，
所以AC⊥BC₁．

点评 本题考查线面平行、线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．