Question

3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点P（1，1）作直线l与圆x²+y²=9分别相交于A，B两点，则弦|AB|的最大值与最小值的积为12$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 点P（1，1）在圆x²+y²=9内，弦|AB|的最大值是直径，再求出|AB|的最小值，由此能求出弦|AB|的最大值与最小值的积．

解答 解：∵1²+1²＜9，
∴点P（1，1）在圆x²+y²=9内，
∵过点P（1，1）作直线l与圆x²+y²=9分别相交于A，B两点，
∴弦|AB|的最大值|AB|_max=2r=6，
|OP|=$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，r=3，
弦|AB|的最小值|AB|_min=2$\sqrt{{r}^{2}-|OP{|}^{2}}$=$\sqrt{9-2}$=2$\sqrt{7}$，
∴弦|AB|的最大值与最小值的积为：6×$2\sqrt{7}$=12$\sqrt{7}$．
故答案为：12$\sqrt{7}$．

点评 本题考查弦|AB|的最大值与最小值的积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．