Question

9．已知函数$f（x）=ax+\frac{a-2}{x}+2-2a$（a＞0）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f（2），f′（2）的值，代入切线方程即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性即可；
（Ⅲ）问题等价于$ax+\frac{a-2}{x}+2-2a-2lnx≥0（a＞0）$在[1，+∞）上恒成立，令$g（x）=ax+\frac{a-2}{x}+2-2a-2lnx$，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）当  a=1时，$f（x）=x-\frac{1}{x}$，$f'（x）=1+\frac{1}{x^2}$…（2分）
$f（2）=\frac{3}{2}$，$f'（2）=\frac{5}{4}$…（3分）
所以，函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为$y-\frac{3}{2}=\frac{5}{4}（x-2）$
即：5x-4y-4=0…（4分）
（Ⅱ）函数的定义域为：{x|x≠0}…（1分）
${f^'}（x）=a-\frac{a-2}{x^2}=\frac{{a{x^2}+（2-a）}}{x^2}（a＞0）$…（2分）
当0＜a≤2时，f′（x）≥0恒成立，
所以，f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上单调递增
当a＞2时，令f′（x）=0，
即：ax²+2-a=0，${x_1}=-\sqrt{\frac{a-2}{a}}，{x_2}=\sqrt{\frac{a-2}{a}}$，
f′（x）＞0，x＞x₂或x＜x₁；
f′（x）＜0，x₁＜x＜0或0＜x＜x₂，
所以，f（x）单调递增区间为$（-∞，-\sqrt{\frac{a-2}{a}}）和（\sqrt{\frac{a-2}{a}}，+∞）$，
单调减区间为$（-\sqrt{\frac{a-2}{a}}，0）和（0，\sqrt{\frac{a-2}{a}}）$．…（4分）
（Ⅲ）因为f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，
则${g^'}（x）=a-\frac{a-2}{x^2}-\frac{2}{x}=\frac{{a{x^2}-2x-a+2}}{x^2}=\frac{（x-1）[ax+（a-2）]}{x^2}$．
令g′（x）=0，则${x_1}=1，{x_2}=-\frac{a-2}{a}$…（2分）
若$-\frac{a-2}{a}=1$，即a=1时，g′（x）≥0，
函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，又g（1）=0，
所以，f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立；                    …（3分）
若$-\frac{a-2}{a}＞1$，即a＜1时，当$x∈（0，1），（-\frac{a-2}{a}，+∞）$时，
g′（x）＞0，g（x）单调递增；
当$x∈（1，-\frac{a-2}{a}）$时，g′（x）＜0，g（x）单调递减
所以，g（x）在[1，+∞）上的最小值为$g（-\frac{a-2}{a}）$，
因为g（1）=0，所以$g（-\frac{a-2}{a}）＜0$不合题意．…（4分）
$-\frac{a-2}{a}＜1$，即a＞1时，当$x∈（0，-\frac{a-2}{a}），（1，+∞）$时，
g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当$x∈（-\frac{a-2}{a}，1）$时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以，g（x）在[1，+∞）上的最小值为g（1）
又因为g（1）=0，所以f（x）≥2lnx恒成立
综上知，a的取值范围是[1，+∞）．…（5分）

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．