Question

1．已知函数f（x）=ax³+bx在x=1处取得极值2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若（m+3）x-x²e^x+2x²≤f（x）对于任意的x∈（0，+∞）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据极值的定义得到关于a，b的方程组，求出a，b的值，从而求出f（x）的表达式；
（Ⅱ）问题等价于m≤xe^x-x²-2x于任意的x∈（0，+∞）成立，设h（x）=xe^x-x²-2x，根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ax³+bx在x=1处取得极值2，
∴$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=3a+b=0\\ f（1）=a+b=2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=3\end{array}\right.$，
∴f（x）=-x³+3x…（5分）
（Ⅱ）∵（m+3）x-x²e^x+2x²≤f（x）对于任意的x∈（0，+∞）成立，
∴（m+3）x-x²e^x+2x²≤-x³+3x
?m≤xe^x-x²-2x于任意的x∈（0，+∞）成立
设h（x）=xe^x-x²-2x，
则h′（x）=e^x+xe^x-2x-2=（x+1）（e^x-2），
令h′（x）=0解得x=ln2，
且当0＜x＜ln2时，h′（x）＜0；
当x＞ln2时，h′（x）＞0，
∴h（x）=xe^x-x²-2x在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，
∴$h{（x）_{min}}=h（ln2）=ln2•{e^{ln2}}-{（ln2）^2}-2ln2=-{（ln2）^2}$，
∴m≤-（ln2）²．

点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．