Question

11．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx+cos²ωx+a（ω＞0），其图象相邻对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，f（x）的最大值为$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求ω和a；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{24}$个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[0，3π]上的单调区间．

Answer 1

分析 （I）利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简，根据周期公式求ω的值，由函数的周期求得ω，由最大值求得a的值．
（Ⅱ））根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性求出它的单调区间，结合x∈[0，3π]，进一步确定函数的单调区间．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx+cos²ωx+a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{1}{2}$+a=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$+a，
∵图象相邻对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，
∴T=π，
∴2ω=$\frac{2π}{T}$=2，
∴ω=1，
∵f（x）的最大值为$\frac{1}{2}$．
∴1+$\frac{1}{2}$+a=$\frac{1}{2}$，
∴a=-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{24}$个单位，可得函数y=sin[2（x+$\frac{π}{24}$）+$\frac{π}{6}$]=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的图象；
再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$） 的图象．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得4kπ-$\frac{3π}{2}$≤x≤4kπ+$\frac{π}{2}$，故函数的增区间为[4kπ-$\frac{3π}{2}$，4kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈z．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，求得4kπ+$\frac{π}{2}$≤x≤4kπ+$\frac{5π}{2}$，故函数的减区间为[4kπ+$\frac{π}{2}$，4kπ+$\frac{5π}{2}$]，k∈z．
再结合x∈[0，3π]，可得函数的增区间为[0，$\frac{π}{2}$]、[$\frac{5π}{2}$，3π]；减区间为[$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{2}$]．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．