Question

2．已知函数f（x）=acos2x+bsin2x+$\sqrt{3}$的图象过点（$\frac{π}{12}$，2$\sqrt{3}$）和点（$\frac{2π}{3}$，-2+$\sqrt{3}$），求：
（1）函数在x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的单调递减区间；
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，再向下平移$\sqrt{3}$个单位，然后保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$得到函数y=g（x），求g（x）的最小正周期和在[-$\frac{π}{4}$，-$\frac{π}{16}$]的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意，可以由图象过的两个点建立两个方程，求出a，b两个未知数，即可得到y=f（x）的解析式，进一步在x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的单调递减区间；
（2）将y=f（x）经过平移伸缩变换得到y=g（x）的解析式，由T=$\frac{2π}{ω}$求得最小正周期；利用y=g（x）在[-$\frac{π}{4}$，-$\frac{π}{16}$]的单调性求出最小值．

解答 解：（1）由题意得：
$\left\{\begin{array}{l}{acos（2*\frac{π}{12}）+bsin（2*\frac{π}{12}）+\sqrt{3}=2\sqrt{3}}\\{acos（2*\frac{2π}{3}）+bsin（2*\frac{2π}{3}）+\sqrt{3}=-2+\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
所以f（x）=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+$\sqrt{3}$=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$（k∈Z）
得：$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2}{3}π+kπ$（k∈Z），
所以减区间为：[$\frac{π}{6}+kπ，\frac{2}{3}π+kπ$]（k∈Z），
所以当k=-1时，为[-$\frac{5π}{6}$，$-\frac{π}{3}$]，
当k=0时，为[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
又因为x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
单调递减区间为[$-\frac{π}{2}$，$-\frac{π}{3}$]，[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]；
（2）由（1）可知f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，
向右平移$\frac{π}{6}$个单位得y=2sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]+$\sqrt{3}$即y=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，
再向下平移$\sqrt{3}$个单位得y=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
然后保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$得y=2sin（4x-$\frac{π}{6}$），
即g（x）=2sin（4x-$\frac{π}{6}$），
所以T=$\frac{π}{2}$；
又因为x∈[-$\frac{π}{4}$，-$\frac{π}{16}$]，
所以4x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，-$\frac{5π}{12}$]，
所以当4x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$时，函数y=g（x）取得最小值为-2．

点评 本题难度中等，属于三角函数内容里的常见题型，综合性较强．主要考察①用待定系数法求函数解析式②已知定义域求函数单调性③以及函数图象的平移伸缩变化等内容．