Question

10．已知n∈N^*且n＞1，设（x+1）ⁿ的展开式中第3项的系数为a_n、各项的二项式系数之和为b_n．
（1）求a₂+a₃+a₄+…+a₉的值；
（2）证明：1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{{b}_{n}}}$＞$\sqrt{{b}_{n}}$．

Answer 1

分析 （1）由题意，a_n=C_n²，利用组合数的性质，即可求a₂+a₃+a₄+…+a₉的值；
（2）先证明n=1时，不等式成立，再假设n=k时，不等式成立，进而证明出n=k+1时，不等式也成立，即可得到结论．

解答 （1）解：由题意，a_n=C_n²，∴a₂+a₃+a₄+…+a₉=C₂²+C₃²+…+C₉²=C₁₀³=120；
（2）证明：由题意，b_n=2ⁿ．
①n=1时，左边=1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$，右边=$\sqrt{2}$，成立；
②设n=k时，结论成立，即1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{{2}^{k}}}$＞$\sqrt{{2}^{k}}$，
n=k+1时，左边=1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{{2}^{k}}}$+$\frac{1}{\sqrt{{2}^{k}+1}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{{2}^{k+1}}}$＞$\sqrt{{2}^{k}}$+$\frac{1}{\sqrt{{2}^{k}+1}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{{2}^{k+1}}}$
＞$\sqrt{{2}^{k}}$+$\frac{{2}^{k+1}-{2}^{k}+1}{\sqrt{{2}^{k+1}}}$=$\frac{\sqrt{2}•{2}^{k}+{2}^{k}+1}{\sqrt{{2}^{k+1}}}$＞$\sqrt{{2}^{k+1}}$，
即当n=k+1时，不等式也成立．
由①②可知，对于任意n∈N⁺时，不等式成立．

点评 数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．