Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，-sin$\frac{ωx}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（sinωx，2sin$\frac{ωx}{2}$），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$+m（ω＞0）的最小正周期为3π，且当x∈[0，π]时，函数f（x）的最大值为1．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin²B=cosB+cos（A-C），求sinA的值．

Answer 1

分析 （1）由题意，利用向量坐标运算求出函数y=f（x）的含参解析式，再由“最小正周期为3π”求出ω，“当x∈[0，π]时，函数f（x）的最大值为1”求出m，即求出函数f（x）的表达式；
（2）由（1）可知，求出C=$\frac{π}{2}$，联合2sin²B=cosB+cos（A-C）求出sinA的值．

解答 解：（1）由题意得，$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$sinωx-（-sin$\frac{ωx}{2}$）•2sin$\frac{ωx}{2}$）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），
所以f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+m，
又因为最小正周期为3π，所以ω=$\frac{2π}{3π}$=$\frac{2}{3}$，
所以f（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$）+m，
又因为x∈[0，π]即$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
所以f（x）_max=2+m=1，
所以m=-1，
所以f（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$）-1．
（2）由（1）可知f（C）=2sin（$\frac{2}{3}$C+$\frac{π}{6}$）-1=1，
所以sin（$\frac{2}{3}$C+$\frac{π}{6}$）=1，
所以$\frac{2}{3}$C+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$即C=$\frac{π}{2}$，
又因为2sin²B=cosB+cos（A-C），
所以2sin²（$\frac{π}{2}$-A）=cos（$\frac{π}{2}$-A）+cos（A-$\frac{π}{2}$），
所以sin²A+sinA-1=0，
所以sinA=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$（舍），
所以sinA=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查学生向量坐标运算，三角函数性质和解三角形等内容．