Question

15．（1）已知：a＞0，求证：$\sqrt{a+5}$-$\sqrt{a+3}$＞$\sqrt{a+6}$-$\sqrt{a+4}$
（2）设x，y都是正数，且x+y＞2，试用反证法证明：$\frac{1+x}{y}$＜2和$\frac{1+y}{x}$＜2中至少有一个成立．

Answer 1

分析 （1）根据不等式的特点，利用分析法证明；
（2）结合题目结论，采用反证法证明．

解答 （1）（分析法）要证原不等式成立，
只需证 $\sqrt{a+5}+\sqrt{a+4}＞\sqrt{a+6}+\sqrt{a+3}$
即证${（\sqrt{a+5}+\sqrt{a+4}）^2}＞{（\sqrt{a+6}+\sqrt{a+3}）^2}$
只要证（a+5）（a+4）＞（a+6）（a+3）
即  证  20＞18
∵上式显然成立，
∴原不等式成立．
（2）假设$\frac{1+x}{y}＜2$和$\frac{1+y}{x}＜2$都不成立，即$\frac{1+x}{y}≥2$，$\frac{1+y}{x}≥2$．
又∵x，y都是正数，∴1+x≥2y，1+y≥2x
两式相加得到 2+（x+y）≥2（x+y），
∴x+y≤2．
与已知x+y＞2矛盾，
所以假设不成立，即$\frac{1+x}{y}＜2$和$\frac{1+y}{x}＜2$中至少有一个成立．

点评 本题考查了分析法和反证法证明不等式；（1）正面入手不容易做，可以利用分析法飞思想，即执果索因法证明，注意格式；（2）利用了反证法证明，即否定结论，当作已知，最后推出矛盾．