Question

9．在△ABC中，角A、B、C的对边a、b、c成等差数列，且A-C=90°，则cosB=（　　）

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由等差数列的性质结合三角形的知识可得C=45°-$\frac{B}{2}$，再由正弦定理求得sin$\frac{B}{2}$的值，利用二倍角公式求得答案．

解答 解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，
又∵A-C=90°，A+B+C=180°，
∴C=45°-$\frac{B}{2}$，
由正弦定理可得2sinB=sinA+sinC，
∴2sinB=sin（90°+C）+sinC
=cosC+sinC=$\sqrt{2}$sin（C+45°）
=$\sqrt{2}$sin（45°-$\frac{B}{2}$+45°）
=$\sqrt{2}$sin（90°-$\frac{B}{2}$）=$\sqrt{2}$cos$\frac{B}{2}$，
∴2sinB=4sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$=$\sqrt{2}$cos$\frac{B}{2}$，
解得sin$\frac{B}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴cosB=1-2sin²$\frac{B}{2}$=$\frac{3}{4}$
故选：D．

点评 本题考查等差数列的性质与应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是综合性题目．