Question

（2012•浙江模拟）函数f(x)=x+

1

x

被称为“耐克函数”．已知“耐克函数”的图象为双曲线，那么该双曲线的实轴长为（　　）

• A．2

  2

• B．2

  5

• C．2

  2+2 2

• D．2(

  2

  +1)

Answer 1

分析：作出“耐克函数”的图象如图，结合双曲线的几何性质，得双曲线的实轴在直线y=x与x=0所成角的平分线上，如函数图象截直线而得的线段AB．利用三角函数公式算出直线的方程，再由直线方程与函数f(x)=x+

1

x

联解，即可得到A、B两点的坐标，从而得到该双曲线的实轴长．

解答：解：作出“耐克函数”的图象如图，可得
该双曲线的渐近线为直线y=x和x=0
根据双曲线的对称性，得双曲线的实轴在直线y=x与x=0所成角的平分线上，
且为角平分线被“耐克函数”截得的线段AB．
设实轴实轴所在直线为y=kx，其中k=tan67.5°
∵tan135°=tan（2×67.5°）=-1
∴由二倍角的正切公式，得

2tan67.5°

1-tan267.5°

=-1
解之得tan67.5°=

2

+1
∴实轴所在直线为y=（

2

+1）x，
由

y=( 2 +1)x y=x+ 1 x

消去y，整理得x²=

2

2

，代入得y²=

2

2

（

2

+1）²=

3 2

2

+2
因此直线y=（

2

+1）x交曲线y=x+

1

x

于点A（x₁，y₁）和点B（x₂，y₂），
满足x₁²=x₂²=

2

2

，y₁²=y₂²=

3 2

2

+2
∴|OA|=|OB|=

2 2 +( 3 2 2 +2)

=

2+ 2

，可得实轴为|AB|=2

2+ 2

故选：C

点评：本题给出“耐克函数”图象对应的双曲线，求该双曲线的实轴，着重考查了函数的图象与性质和双曲线的几何性质等知识点，属于中档题．