Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点F与P（2，-1）关于直线l：x-y-2=0对称，中心在坐标原点的椭圆经过两点M（1，），N（-，），且抛物线与椭圆交于两点A（x_A，y_A）和B（x_B，y_B），且x_A＜x_B．
（1）求出抛物线方程与椭圆的标准方程；
（2）若直线l′与抛物线相切于点A，试求直线l′与坐标轴所围成的三角形的面积；
（3）若（2）中直线l′与圆x²-2mx+y²+2y+m²-=0恒有公共点，试求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）设椭圆的方程为mx²+ny²=1，
因为椭圆经过两点M（1，），N（-，），
所以可得
由①与②消去m可得n=，③
将③代入①得m=，
故所求椭圆的标准方程为+=1．
抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F（0，），依题意得直线FP与直线l：x-y-2=0互相垂直，所以直线FP的斜率为-1，则k_FP==-1，解得p=2，所以x²=4y．
（2）由得y²+y-2=0，解得y=1或y=-2（不合题意，舍去），
当y=1时，得x=±2，因为x_A＜x_B，所以A（-2，1），对y=x²求导，得y′=x，所以y′|_x=-2=-1，所以直线l′的方程为y-1=-1×（x+2），即x+y+1=0，令x=0得y=-1，令y=0得x=-1，所以直线l′与坐标轴所围成的三角形的面积为S=×|-1|×|-1|=．
（3）由x²-2mx+y²+2y+m²-=0得（x-m）²+（y+1）²=，其圆心坐标为（m，-1），半径r=，
要使直线l′与圆x²-2mx+y²+2y+m²-=0恒有公共点，则需满足（m，-1）到直线l′：x+y+1=0的距离d≤，即d=≤，得-≤m≤，
即m的取值范围为[-，]．
分析：（1）设椭圆的方程为mx²+ny²=1，因为椭圆经过两点M（1，），N（-，），所以可得
由①与②消去m可得n=，由此能求出抛物线方程与椭圆的标准方程．
（2）由得y²+y-2=0，解得y=1或y=-2（不合题意，舍去），当y=1时，得x=±2，因为x_A＜x_B，所以A（-2，1），对y=x²求导，得y′=x，所以直线l′的方程为x+y+1=0，由此能求出直线l′与坐标轴所围成的三角形的面积．
（3）由x²-2mx+y²+2y+m²-=0得（x-m）²+（y+1）²=，其圆心坐标为（m，-1），半径r=，要使直线l′与圆x²-2mx+y²+2y+m²-=0恒有公共点，则需满足（m，-1）到直线l′：x+y+1=0的距离d≤，由此能求出m的取值范围．
点评：本题考查直线 与圆锥曲线的位置关系的综合运用，具有一定的难度，解题时要认真审题，合理地进行等价转化．