Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥BD于O．
（Ⅰ）证明：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）设E为线段PC上一点，若AC⊥BE，求证：PA∥平面BED．

Answer 1

证明：（I）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．
又BD⊥AC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．
∵BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．
（II）∵AC⊥BE，AC⊥BD，BE∩BD=B，
∴AC⊥平面BED．
∴AC⊥OE．
在平面PAC中，PA⊥AC，OE⊥AC，
∴PA∥OE．
而PA?平面BED，OE?平面BED，
∴PA∥平面BED．
分析：（I）利用线面垂直的性质定理可得PA⊥BD，再利用线面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC，利用面面垂直的判定定理即可证明结论；
（II）利用线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BED，可得AC⊥OE．在同一平面内，PA⊥AC，于是得到OE∥PA，再利用线面平行的判定定理即可证明．
点评：熟练掌握线面垂直的判定和性质定理、面面垂直的判定定理、在同一平面内垂直与同一条直线的两条直线平行的性质、线面平行的判定定理是解题的关键．