Question

【题目】在学习强国活动中，某市图书馆的科技类图书和时政类图书是市民借阅的热门图书.为了丰富图书资源，现对已借阅了科技类图书的市民（以下简称为“问卷市民”）进行随机问卷调查，若不借阅时政类图书记1分，若借阅时政类图书记2分，每位市民选择是否借阅时政类图书的概率均为，市民之间选择意愿相互独立.

（1）从问卷市民中随机抽取4人，记总得分为随机变量，求的分布列和数学期望；

（2）（i）若从问卷市民中随机抽取人，记总分恰为分的概率为，求数列的前10项和；

（ⅱ）在对所有问卷市民进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为分的概率为（比如：表示累计得分为1分的概率，表示累计得分为2分的概率，），试探求与之间的关系，并求数列的通项公式.

Answer 1

【答案】（1）分布列见解析，6；（2）（i）；（ⅱ），.

【解析】

（1）独立重复试验，列出随机变量可能取值为4，5，6，7，8，再求出各可能值的概率可解得.

（2）（i）总分恰为分的概率是等比数列，用基本量计算.

（2）（ⅱ）递推数列化为等比数列求解.

（1）的可能取值为4，5，6，7，8，

，

所有的分布列为

	4	5	6	7	8

所以数学期望.

（2）（i）总分恰为分的概率为，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，

前10项和.

（ii）已调查过的累计得分恰为分的概率为，得不到分的情况只有先得分，再得2分，概率为.

因为，即，

所以，

则是首项为，公比为的等比数列，

所以，

所以.