Question

【题目】已知等腰梯形中（如图1），，，为线段的中点，、为线段上的点，，现将四边形沿折起（如图2）

（1）求证：平面；

（2）在图2中，若，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）先连接，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；

（2）在图2中，过点作，垂足为，连接，，证明平面平面，得到点在底面上的投影必落在直线上，记为点在底面上的投影，连接，，得出即是直线与平面所成角，再由题中数据求解，即可得出结果.

（1）连接，因为等腰梯形中（如图1），，，

所以与平行且相等，即四边形为平行四边形；所以；

又为线段的中点，为中点，易得：四边形也为平行四边形，所以；

将四边形沿折起后，平行关系没有变化，仍有：，且，

所以翻折后四边形也为平行四边形；故；

因为平面，平面，

所以平面；

（2）在图2中，过点作，垂足为，连接，，

因为，，翻折前梯形的高为，

所以，则，；

所以；

又，，

所以，即，所以；

又，且平面，平面，

所以平面；因此，平面平面；

所以点在底面上的投影必落在直线上；

记为点在底面上的投影，连接，，

则平面；

所以即是直线与平面所成角，

因为，所以，

因此，，

故；

因为，

所以，

因此，故，

所以.

即直线与平面所成角的正弦值为.