【题目】某学校随机抽取100名考生的某次考试成绩,按照[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100](满分100分)分为5组,制成如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于75分).已知第3组,第4组,第5组的频数成等差数列;第1组,第5组,第4组的频率成等比数列.
(1)求频率分布直方图中a的值,并估计抽取的100名学生成绩的中位数和平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)若从第3组、第4组、第5组中按分层抽样的方法抽取6人,并从中选出3人,求这3人中至少有1人来自第4组的概率.
【答案】(1) a=0.04,中位数.平均数87.25;(2)
.
【解析】
(1)根据频率之和为1,即可求出的值,再根据频率分布直方图求出平均数,中位数。(2)首先分别按比例从第3组、第4组、第5组中抽出3、2、1人,从6位同学中抽取3位同学有20种可能,找出3人中至少有1人来自第4组的情况。
(1)设第3组,第5组的频率分别为x,y,
由题意可得,
解得x=0.3,y=0.1,a=0.04,
∴(
)=87.25,
由频率分布直方图知,中位数在[85,90),设中位数为m,
则0.01×5+0.07×5+0.06×(m﹣85)=0.5,
解得中位数m.
(2)∵成绩较好的第3组、第4组、第5组中的人数分别为30,20,10,
∴按分层抽样的方法在各组抽取的人数分别为3,2,1,
设第3组的3位同学分别为A1,A2,A3,第4组的2位同学分别为B1,B2,第5组的1位同学为C,
则从6位同学中抽取3位同学有20种可能,分别为:
(),(A1,A2,B1),(A1,A2,B2),(A1,A2,C),(A1,A3,B1),(A1,A3,B2),(A1,A3,C),(A1,B1,B2),(A1,B1,C),(A1,B2,C),(A2,A3,B1),(A2,A3,B2),(A2,A3,C),(A2,B1,B2),(A2,B1,C),(A2,B2,C),(A3,B1,B2),(A3,B1,C),(A3,B2,C),(B1,B2,C),
这3人中至少有1人来自第4组包含的基本事件有16个,分别为:
(A1,A2,B1),(A1,A2,B2),(A1,A3,B1),(A1,A3,B2),(A1,B1,B2),(A1,B1,C),(A1,B2,C),(A2,A3,B1),(A2,A3,B2),(A2,B1,B2),(A2,B1,C),(A2,B2,C),(A3,B1,B2),(A3,B1,C),(A3,B2,C),(B1,B2,C),
∴这3人中至少有1人来自第4组的概率为P.
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【题目】若无穷数列满足:
,且对任意
,
(s,k,l,
)都有
,则称数列
为“T”数列.
(1)证明:正项无穷等差数列是“T”数列;
(2)记正项等比数列的前n项之和为
,若数列
是“T”数列,求数列
公比的取值范围;
(3)若数列是“T”数列,且数列
的前n项之和
满足
,求证:数列
是等差数列.
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【题目】已知等腰梯形中(如图1),
,
,
为线段
的中点,
、
为线段
上的点,
,现将四边形
沿
折起(如图2)
(1)求证:平面
;
(2)在图2中,若,求直线
与平面
所成角的正弦值.
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【题目】已知椭圆,
、
分别是椭圆
长轴的左、右端点,
为椭圆上的动点.
(1)求的最大值,并证明你的结论;
(2)设直线的斜率为
,且
,求直线
的斜率的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
:
(
为参数,
),曲线
:
(
为参数),
与
相切于点
,以坐标原点为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求的极坐标方程及点
的极坐标;
(2)已知直线:
与圆
:
交于
,
两点,记
的面积为
,
的面积为
,求
的值.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)若点在曲线
上,点
在曲线
上,求
的最小值及此时点
的坐标.
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【题目】已知抛物线的准线过椭圆C:
(a>b>0)的左焦点F,且点F到直线l:
(c为椭圆焦距的一半)的距离为4.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点F做直线与椭圆C交于A,B两点,P是AB的中点,线段AB的中垂线交直线l于点Q.若,求直线AB的方程.
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【题目】已知为圆
上的动点,点
在圆的半径
上运动,点
在
上,且满足
,其中
.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设不过原点的直线与
点的轨迹交于
两点,且点
关于恒过定点
的直线
对称.求
面积的取值范围.
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