[题目]已知为圆上的动点.点在圆的半径上运动.点在上.且满足.其中.(1)求点的轨迹方程,(2)设不过原点的直线与点的轨迹交于两点.且点关于恒过定点的直线对称.求面积的取值范围. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】已知为圆上的动点，点在圆的半径上运动，点在上，且满足，其中.

（1）求点的轨迹方程；

（2）设不过原点的直线与点的轨迹交于两点，且点关于恒过定点的直线对称.求面积的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据椭圆的定义判断出点的轨迹是以点为焦点，求得的值，进而求得点的轨迹方程.

（2）设出直线的方程为、直线的方程为，联立直线的方程和点的轨迹方程，消去化简并令其判别式大于零.将线段中点代入直线的方程，求得的关系式，并由此求得的取值范围.求得弦长的表达式，求得点到直线的距离，由此求得三角形面积的表达式，利用二次函数的性质求得三角形面积的取值范围.

（1）由题意是线段的垂直平分线，

点的轨迹是以点为焦点，焦距为2，长轴长为的椭圆，

，故点的轨迹方程是

（2）设直线的方程为，由题意知，则直线的方程为.

联立消去，得

①

将线段的中点坐标代入，得②

由①②得或，

令，则.转化为，也即.转化为.则，且到直线的距离为.

设的面积为，

当且仅当时，等号成立，此时满足

故面积的取值范围为.

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