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    【题目】已知为圆上的动点，点在圆的半径上运动，点在上，且满足，其中.

    （1）求点的轨迹方程；

    （2）设不过原点的直线与点的轨迹交于两点，且点关于恒过定点的直线对称.求面积的取值范围.

    【答案】（1）（2）

    【解析】

    （1）根据椭圆的定义判断出点的轨迹是以点为焦点，求得的值，进而求得点的轨迹方程.

    （2）设出直线的方程为、直线的方程为，联立直线的方程和点的轨迹方程，消去化简并令其判别式大于零.将线段中点代入直线的方程，求得的关系式，并由此求得的取值范围.求得弦长的表达式，求得点到直线的距离，由此求得三角形面积的表达式，利用二次函数的性质求得三角形面积的取值范围.

    （1）由题意是线段的垂直平分线，

    点的轨迹是以点为焦点，焦距为2，长轴长为的椭圆，

    ，故点的轨迹方程是

    （2）设直线的方程为，由题意知，则直线的方程为.

    联立消去，得

    ①

    将线段的中点坐标代入，得②

    由①②得或，

    令，则.转化为，也即.转化为.则，且到直线的距离为.

    设的面积为，

    当且仅当时，等号成立，此时满足

    故面积的取值范围为.

    练习册系列答案
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    （1）求频率分布直方图中a的值，并估计抽取的100名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

    （2）若从第3组、第4组、第5组中按分层抽样的方法抽取6人，并从中选出3人，求这3人中至少有1人来自第4组的概率．

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    （2）求异面直线与的距离；

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    某大学德语系同学利用分层抽样的方式从德国获奖选手中抽取了9名获奖代表.

    国家

    金牌

    银牌

    铜牌

    奖牌总数

    中国

    133

    64

    42

    239

    俄罗斯

    51

    53

    57

    161

    巴西

    21

    31

    36

    88

    法国

    13

    20

    24

    57

    波兰

    11

    15

    34

    60

    德国

    10

    15

    20

    45

    （1）请问这9名获奖代表中获金牌、银牌、铜牌的人数分别是多少人？

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    （3）从这9人中随机抽取3人，求已知这3人中有获金牌运动员的前提下，这3人中恰好有1人为获铜牌运动员的概率.

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