【题目】如图,三棱柱中,侧面
底面
,
是边长为2的正三角形,已知
点满足
.
(1)求二面角的大小;
(2)求异面直线与
的距离;
(3)直线上是否存在点
,使
平面?若存在,请确定点
的位置;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)
(3)存在点
,其坐标为
,即恰好为
点
【解析】
(1)建立空间直角坐标系,利用平面的法向量和平面
的法向量,计算出二面角
的余弦值,由此求得其大小.
(2)求得异面直线与
的公垂线的方向向量,并由此计算出异面直线
与
的距离.
(3)根据求得
点的坐标,设出
点的坐标,根据
、
与平面
的法向量垂直列方程组,解方程组求得
点的坐标,由此判断出存在
点符合题意.
(1)侧面
底面
,又
均为正三角形,取
得中点
,连接
,
,
则底面
,
故以为坐标原点,分别以
为
轴、
轴、
轴建立
如图所示空间直角坐标系,
则
设平面的法向量为
取,可得
又平面的一个法向量为
由图知二面角为锐角,故二面角
的大小为
.
(2)异面直线与
的公垂线的方向向量
,则
易得,异面直线
与
的距离
(3),而
又,
点
的坐标为
假设存在点符合题意,则点
的坐标可设为
平面
为平面
的一个法向量,
由
,得
.
又平面
,
故存在点,使
平面
,其坐标为
,即恰好为
点.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,直线
:
(
为参数,
),曲线
:
(
为参数),
与
相切于点
,以坐标原点为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求的极坐标方程及点
的极坐标;
(2)已知直线:
与圆
:
交于
,
两点,记
的面积为
,
的面积为
,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】大庆实验中学在高二年级举办线上数学知识竞赛,在已报名的400名学生中,根据文理学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:
(1)估算一下本次参加考试的同学成绩的中位数和众数;
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;
(3)已知样本中有一半理科生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的文理科生人数相等.试估计总体中理科生和文科生人数的比例.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】根据国家统计局数据,1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元,实际增长了242倍多,综合国力大幅提升.
将年份1978,1988,1998,2008,2018分别用1,2,3,4,5代替,并表示为;
表示全国GDP总量,表中
,
.
3 | 26.474 | 1.903 | 10 | 209.76 | 14.05 |
(1)根据数据及统计图表,判断与
(其中
为自然对数的底数)哪一个更适宜作为全国GDP总量
关于
的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由),并求出
关于
的回归方程.
(2)使用参考数据,估计2020年的全国GDP总量.
线性回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,
.
参考数据:
4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
| 55 | 148 | 403 | 1097 | 2981 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且,
.
求证:(1)直线DE平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知为圆
上的动点,点
在圆的半径
上运动,点
在
上,且满足
,其中
.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设不过原点的直线与
点的轨迹交于
两点,且点
关于恒过定点
的直线
对称.求
面积的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列是等比数列,有下列四个命题:①
是等比数列;②
是等比数列;③
是等比数列;④
是等比数列,其中正确命题的序号是( )
A.②④B.③④C.②③④D.①②③④
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