【题目】已知函数.
(1)求证:当时,
;
(2)若对任意存在
和
使
成立,求实数
的最小值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)不等式等价于
,设
,利用导数可证
恒成立,从而原不等式成立.
(2)由题设条件可得在
上有两个不同零点,且
,利用导数讨论
的单调性后可得其最小值,结合前述的集合的包含关系可得
的取值范围.
(1)设,则
,
当时,由
,所以
在
上是减函数,
所以,故
.
因为,所以
,所以当
时,
.
(2)由(1)当时,
;
任意,存在
和
使
成立,
所以在
上有两个不同零点,且
,
(1)当时,
在
上为减函数,不合题意;
(2)当时,
,
由题意知在
上不单调,
所以,即
,
当时,
,
时,
,
所以在
上递减,在
上递增,
所以,解得
,
因为,所以
成立,
下面证明存在,使得
,
取,先证明
,即证
,
令,则
在
时恒成立,
所以成立,
因为,
所以时命题成立.
因为,所以
.
故实数的最小值为
.
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【题目】已知为圆
上的动点,点
在圆的半径
上运动,点
在
上,且满足
,其中
.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设不过原点的直线与
点的轨迹交于
两点,且点
关于恒过定点
的直线
对称.求
面积的取值范围.
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【题目】已知i为虚数单位,下列说法中正确的是( )
A.若复数z满足,则复数z对应的点在以
为圆心,
为半径的圆上
B.若复数z满足,则复数
C.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模
D.复数对应的向量为
,复数
对应的向量为
,若
,则
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【题目】给出下列四个命题:
①某班级一共有52名学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知7号、33号、46号同学在样本中,那么样本中另一位同学的编号为23;
②一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同;
③一组数据,0,1,2,3,若该组数据的平均值为1,则样本的标准差为2;
④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为中,
,
,
,则
.
其中真命题为( )
A.①②④B.②④C.②③④D.③④
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【题目】已知函数.
(1)若函数的图象在点
处的切线方程为
,求实数a,b的值;
(2)若,求
的单调减区间;
(3)对一切实数,求
的极小值函数
,并求出
的最大值.
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【题目】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费对年销售量(单位:t)的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究,发现年宣传费x(万元)和年销售量y(单位:t)具有线性相关关系,并对数据作了初步处理,得到下面的一些统计量的值.
(1)根据表中数据建立年销售量y关于年宣传费x的回归方程;
(2)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为,根据(1)中的结果回答下列问题:
①当年宣传费为10万元时,年销售量及年利润的预报值是多少?
②估算该公司应该投入多少宣传费,才能使得年利润与年宣传费的比值最大.
附:回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
参考数据:.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(m为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为
,直线
与曲线C交于M,N两点.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)求|MN|.
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【题目】下列关于命题的说法错误的是( )
A. 命题“若,则
”的逆否命题为“若
,则
”
B. “”是“函数
在区间
上为增函数”的充分不必要条件
C. 命题“,使得
”的否定是“
,均有
”
D. “若为
的极值点,则
”的逆命题为真命题
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