【题目】已知函数.
(1)当时,不等式
恒成立,求
的最小值;
(2)设数列,其前
项和为
,证明:
.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1),分
,
,
三种情况推理即可;
(2)由(1)可得,即
,利用累加法即可得到证明.
(1)由,得
.
当时,方程
的
,因此
在区间
上恒为负数.所以时,
,函数
在区间
上单调递减.
又,所以函数
在区间
上恒成立;
当时,方程
有两个不等实根,且满足
,
所以函数的导函数
在区间
上大于零,函数
在区间
上单增,又
,所以函数
在区间
上恒大于零,不满足题意;
当时,在区间
上
,函数
在区间
上恒为正数,所以在区间上
恒为正数,不满足题意;
综上可知:若时,不等式
恒成立,
的最小值为
.
(2)由第(1)知:若时,
.
若,则
,
即成立.
将换成
,得
成立,即
,
以此类推,得,
,
上述各式相加,得,
又,所以
.
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【题目】已知椭圆,
、
分别是椭圆
长轴的左、右端点,
为椭圆上的动点.
(1)求的最大值,并证明你的结论;
(2)设直线的斜率为
,且
,求直线
的斜率的取值范围.
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【题目】已知抛物线的准线过椭圆C:
(a>b>0)的左焦点F,且点F到直线l:
(c为椭圆焦距的一半)的距离为4.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点F做直线与椭圆C交于A,B两点,P是AB的中点,线段AB的中垂线交直线l于点Q.若,求直线AB的方程.
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【题目】在正方形中,
,
分别为棱
和棱
的中点,则下列说法正确的是( )
A.∥平面
B.平面
截正方体所得截面为等腰梯形
C.平面
D.异面直线
与
所成的角为60°
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【题目】根据国家统计局数据,1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元,实际增长了242倍多,综合国力大幅提升.
将年份1978,1988,1998,2008,2018分别用1,2,3,4,5代替,并表示为;
表示全国GDP总量,表中
,
.
3 | 26.474 | 1.903 | 10 | 209.76 | 14.05 |
(1)根据数据及统计图表,判断与
(其中
为自然对数的底数)哪一个更适宜作为全国GDP总量
关于
的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由),并求出
关于
的回归方程.
(2)使用参考数据,估计2020年的全国GDP总量.
线性回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,
.
参考数据:
4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
| 55 | 148 | 403 | 1097 | 2981 |
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【题目】在2019年女排世界杯中,中国女排与巴西女排对垒中采用“五局三胜”制,即哪个队先胜三场即获得胜利.根据以往比赛数据统计,中国女排每局获胜概率为,巴西女排每局获胜概率为
.
(1)中国女排战胜巴西女排的概率;
(2)比赛中中国女排第一局获胜,在该条件下求比赛总局数的分布列及
.
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【题目】已知为圆
上的动点,点
在圆的半径
上运动,点
在
上,且满足
,其中
.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设不过原点的直线与
点的轨迹交于
两点,且点
关于恒过定点
的直线
对称.求
面积的取值范围.
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【题目】已知正四棱柱的底面边长
,侧棱长
,它的外接球的球心为
,点
是
的中点,点
是球
上的任意一点,有以下命题:
① 的长的最大值为9;
②三棱锥的体积的最大值是
;
③存在过点的平面,截球
的截面面积为
;
④三棱锥的体积的最大值为20;
⑤过点的平面截球
所得的截面面积最大时,
垂直于该截面.
其中是真命题的序号是___________
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【题目】给出下列四个命题:
①某班级一共有52名学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知7号、33号、46号同学在样本中,那么样本中另一位同学的编号为23;
②一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同;
③一组数据,0,1,2,3,若该组数据的平均值为1,则样本的标准差为2;
④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为中,
,
,
,则
.
其中真命题为( )
A.①②④B.②④C.②③④D.③④
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