Question

如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，tan

α

2

=

1

3

．

Answer 1

分析：由题意知小正方形的边长为2，大正方形的边长为10．设直角三角形中较小边长为x，根据图形可得较长边长为x+2，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解可得x的值，从而求出较长边及较小边的长度．运用正切函数定义得出tanα的值，然后利用二倍角的正切函数公式得出关于tan

α

2

的方程，求出方程的解即可求出tan

α

2

的值．

解答：解：由题意知，小正方形的边长为2，大正方形的边长为10．
设直角三角形中较小边长为x，
则有（x+2）²+x²=10²，
解得，x=6．
∴较长边的边长为x+2=8．
∴tanα=

6

8

=

3

4

，又tanα=

2tan α 2

1-tan2 α 2

，
可得：

2tan α 2

1-tan2 α 2

=

3

4

，即（3tan

α

2

-1）（tan

α

2

+3）=0，
解得：tan

α

2

=

1

3

，tan

α

2

=-3（舍去），
则tan

α

2

=

1

3

．
故答案为：

1

3

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：勾股定理，正方形的性质，锐角三角函数定义以及二倍角的正切函数公式，在求出tan

α

2

的值后，应根据

α

2

为锐角，对其值作出合理的取舍．