【题目】如图,在直四棱柱中,底面
是边长为2的正方形,
分别为线段
,
的中点.
(1)求证: ||平面
;
(2)四棱柱的外接球的表面积为
,求异面直线
与
所成的角的大小.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)连接BD1,由中位线定理证明EF∥D1B,由线面平行的判定定理证明EF∥平面ABC1D1;
(2)由(1)和异面直线所成角的定义,得异面直线EF与BC所成的角是∠D1BC,由题意和球的表面积公式求出外接球的半径,由勾股定理求出侧棱AA1的长,由直四棱柱的结构特征和线面垂直的定义,判断出BC⊥CD1,在RT△CC1D1中求出tan∠D1BC,求出∠D1BC可得答案.
试题解析:
(1)连接,在
中,
分别为线段
的中点,∴
为中位线,
∴,而
面
,
面
,∴
平面
.
(2)由(1)知,故
即为异面直线
与
所成的角.
∵四棱柱的外接球的表面积为
,
∴四棱柱的外接球的半径
,
设,则
,解得
,
在直四棱柱中,∵
平面
,
平面
,
∴,在
中,
,
∴,
∴异面直线与
所成的角为
.
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【题目】已知两个定点,动点
满足
.设动点
的轨迹为曲线
,直线
.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)若与曲线
交于不同的
两点,且
(
为坐标原点),求直线
的斜率;
(3)若是直线
上的动点,过
作曲线
的两条切线
,切点为
,探究:直线
是否过定点.
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【题目】如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1,M,N分别是A1B,B1C1的中点.
(1)求证:MN⊥平面A1BC;
(2)求直线BC1和平面A1BC所成的角的大小.
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【题目】设函数的定义域为
,值域为
,如果存在函数
,使得函数
的值域仍是
,那么称
是函数
的一个等值域变换.
(1)判断下列函数是不是函数
的一个等值域变换?说明你的理由;
①;
②.
(2)设的定义域为
,已知
是
的一个等值域变换,且函数
的定义域为
,求实数
的值.
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【题目】某电台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查,参加调查的总人数为12000人,其中持各种态度的人数如下表:
很喜爱 | 喜爱 | 一般 | 不喜爱 |
2435 | 4567 | 3926 | 1072 |
电视台为进一步了解观众的具体想法和意见,打算从中抽取60人进行更为详细的调查,应当怎样进行抽样?
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【题目】已知函数f(x)=(2x+b)ex , F(x)=bx﹣lnx,b∈R.
(1)若b<0,且存在区间M,使f(x)和F(x)在区间M上具有相同的单调性,求b的取值范围;
(2)若F(x+1)>b对任意x∈(0,+∞)恒成立,求b的取值范围.
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