Question

【题目】已知函数f（x）=（2x+b）ex ， F（x）=bx﹣lnx，b∈R．
（1）若b＜0，且存在区间M，使f（x）和F（x）在区间M上具有相同的单调性，求b的取值范围；
（2）若F（x+1）＞b对任意x∈（0，+∞）恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=（2x+b）ex，f′（x）=（2x+b+2）ex，

∴当x∈（﹣∞，﹣ ）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣ ，+∞）时，f′（x）＞0，

∴f（x）的减区间为（﹣∞，﹣ ），增区间为（﹣ ，+∞）．

F（x）的定义域为（0，+∞），且F′（x）=b﹣ ．

∵b＜0，∴F′（x）＜0，则F（x）在定义域（0，+∞）上为减函数，

要使存在区间M，使f（x）和F（x）在区间M上具有相同的单调性，

则 ＞0，即b＜﹣2．

∴b的取值范围是（﹣∞，﹣2）

（2）解：F（x+1）=b（x+1）﹣ln（x+1）．

要使F（x+1）＞b对任意x∈（0，+∞）恒成立，即bx﹣ln（x+1）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，

令g（x）=bx﹣ln（x+1），则g′（x）=b﹣ （x＞0）．

若b≤0，则g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上为减函数，而g（0）=0，不合题意；

若0＜b＜1，则当x∈（0， ）时，g′（x）＜0，当x∈（ ，+∞）时，g′（x）＞0，

∴ =1﹣b+lnb＞0，得b∈；

若b≥1，则 ，g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，

g（x）在（0，+∞）上为增函数，g（x）＞g（0）=0．

综上，b的取值范围是[1，+∞）

【解析】（1）求出函数f（x）的导函数，由导函数的符号求得函数的单调区间，再求出函数F（x）的导函数，由b＜0，可得F′（x）＜0，则F（x）在定义域（0，+∞）上为减函数，要使存在区间M，使f（x）和F（x）在区间M上具有相同的单调性，需 ＞0，求解可得b的范围；（2）由F（x+1）＞b对任意x∈（0，+∞）恒成立，可得bx﹣ln（x+1）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）=bx﹣ln（x+1），求导可得b≤0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上为减函数，而g（0）=0，不合题意；0＜b＜1时， =1﹣b+lnb＞0，得b∈；b≥1时，g（x）在（0，+∞）上为增函数，g（x）＞g（0）=0成立，从而可得b的取值范围．