Question

4．正三角形的一个顶点恰好为抛物线y²=2px（p＞0）的顶点，另两个顶点在抛物线上，则此三角形的边长为4$\sqrt{3}$p．

Answer 1

分析 根据抛物线的对称性可知，若正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y²=2px（p＞0）上，则另外两个定点关于x轴对称，就可的直线OA的倾斜角，据此求出直线OA的方程，与抛物线方程联立解出A点坐标，就可求出正三角形的边长．

解答 解：∵抛物线y²=2px关于x轴对称，
∴若正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y²=2px（p＞0）上，
则A，B点关于x轴对称，
∴直线OA倾斜角为30°，斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴直线OA方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
代入抛物线方程，可得A（6p，2$\sqrt{3}$p），则B（6p，-2$\sqrt{3}$p），
∴|AB|=4$\sqrt{3}$p
∴这个正三角形的边长为4$\sqrt{3}$p
故答案为：4$\sqrt{3}$p．

点评 本题主要考查了抛物线的对称性，直线方程的点斜式，以及曲线交点的求法，属于圆锥曲线的综合题．