Question

【题目】已知函数 ．
（1）求证：函数f（x）在实数集R上为增函数；
（2）设g（x）=log2f（x），若关于x的方程g（x）=a有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由题意知， ，

设x1，x2是R上的任意两个数，且x1＜x2，

则

= ，

因为x1＜x2，所以 ，

即f（x1）＜f（x2），

所以f（x）在R上为增函数

（2）解：因为关于x的方程g（x）=a有解，

所以实数a的取值范围为函数y=g（x）的值域；

因为 ，

因为2x+1＞1，所以 ，

即0＜f（x）＜2

所以g（x）=log2f（x）值域为（﹣∞，1），

即实数a的取值范围为（﹣∞，1）

【解析】（1）先化简解析式，再利用函数单调性的定义：取值、作差、变形、定号、下结论，证明函数的单调性；（2）将方程有解转化为求出函数y=g（x）的值域，由指数函数的性质求出f（x）的范围，由对数函数的性质求出g（x）的值域，即可求出实数a的取值范围．
【考点精析】利用奇偶性与单调性的综合对题目进行判断即可得到答案，需要熟知奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．