【题目】已知函数 .
(1)求证:函数f(x)在实数集R上为增函数;
(2)设g(x)=log2f(x),若关于x的方程g(x)=a有解,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)证明:由题意知, ,
设x1,x2是R上的任意两个数,且x1<x2,
则
= ,
因为x1<x2,所以 ,
即f(x1)<f(x2),
所以f(x)在R上为增函数
(2)解:因为关于x的方程g(x)=a有解,
所以实数a的取值范围为函数y=g(x)的值域;
因为 ,
因为2x+1>1,所以 ,
即0<f(x)<2
所以g(x)=log2f(x)值域为(﹣∞,1),
即实数a的取值范围为(﹣∞,1)
【解析】(1)先化简解析式,再利用函数单调性的定义:取值、作差、变形、定号、下结论,证明函数的单调性;(2)将方程有解转化为求出函数y=g(x)的值域,由指数函数的性质求出f(x)的范围,由对数函数的性质求出g(x)的值域,即可求出实数a的取值范围.
【考点精析】利用奇偶性与单调性的综合对题目进行判断即可得到答案,需要熟知奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )
A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数,若对于在定义域内存在实数
满足
,则称函数
为“局部奇函数”.若函数
是定义在
上的“局部奇函数”,则实数
的取值范围是( )
A. [1﹣,1+
) B. [﹣1,2] C. [﹣2
,2
] D. [﹣2
,1﹣
]
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的回归方程 ;
(2)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(1)求出的回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
(参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)计算回归系数 ,
.公式为
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA1=2, =λ
.
(1)若λ=1,求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值;
(2)若二面角B1﹣A1C1﹣D的大小为60°,求实数λ的值.
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