Question

在数列{a_n}中，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令，求数列{b_n}的前n项和s_n；
（3）令，数列{c_n}的前n项和T_n，求证：．

Answer 1

解：（1）∵
∴a_n+1+2•2ⁿ⁺¹=3（a_n+2×2ⁿ），
∵a₁+2•2¹=9
∴{a_n+2ⁿ⁺¹}是等比数列，公比为3，
∴a_n+2ⁿ⁺¹=3ⁿ⁺¹，
∴a_n=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹．
（2）∵a_n=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹，
∴==（2n+1），
∴S_n=
，
∴
=-（2n+1）
=
=．
∴S_n=．
（3）∵a_n=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹，
∴=
=＞，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n
＞++…+
=-×
=＞．
∴．
分析：（1）由，知a_n+1+2•2ⁿ⁺¹=3（a_n+2×2ⁿ），由此利用构造法能求出a_n．
（2）由a_n=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹，知==（2n+1），故S_n=，由此利用错位相减法能够求出数列{b_n}的前n项和S_n．
（3）由a_n=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹，知==＞，由此利用放缩法能够证明．
点评：本题考查利用构造法求数列的通项公式，利用错位相减法求数列的前n项和，利用放缩法证明不等式．解题时要认真审题，仔细解答，注意转化化归思想的合理运用．