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    （本题满分12分）  已知椭圆的左焦点及点，原点到直线的距离为．

    （1）求椭圆的离心率；

    （2）若点关于直线的对称点在圆上，求椭圆的方程及点的坐标．

     

    【答案】

    （1）；（2）

    【解析】第一问中利用原点到直线的距离得到椭圆的离心率的值。

    由于直线的方程为

    然后结合点到直线的距离公式得到。

    第二问中，利用对称性设设椭圆的左焦点关于直线的对称点为，则对称性满足两点

    ，可知

    再利用点在椭圆上得到椭圆的方程。

    解：（1）由点，点及得直线的方程为，即，…………………2分

    ∵原点到直线的距离为，

    ∴………………………………………5分

    故椭圆的离心率．   …………………………………6分

    （2） 解法一：设椭圆的左焦点关于直线的对称点为，则有

     …………………………………………8分

    解之，得．

    在圆上

    ∴，

    ∴……………………………………11分

    故椭圆的方程为,

    点的坐标为………………………………………12分

    解法二：因为关于直线的对称点在圆上，又直线过

    圆的圆心,所以也在圆上, ………7分

    从而， ………………………8分

    故椭圆的方程为． ………………………………………9分

    与关于直线的对称,

     …………………………………………10分

    解之，得．…………………………………………11分

    故点的坐标为………………………………………12分

     

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