Question

20．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点，$PO=\sqrt{2}，AB=2$．求证：
（1）平面PAC⊥平面BDE；
（2）求二面角E-BD-C的大小．

Answer 1

分析 （I）利用线面、面面垂直的判定及其性质定理即可证明；
（2）如图所示，连接OE，OC．由（1）可知：BD⊥OC，BD⊥OE，可得∠COE是二面角E-BD-C的平面角．利用直角三角形的边角关系即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD，
又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O
∴BD⊥平面PAC，而BD?平面BDE，
∴平面PAC⊥平面BDE．
（2）如图所示，连接OE，OC．
由（1）可知：BD⊥OC，BD⊥OE，
∴∠COE是二面角E-BD-C的平面角．
∵AB=2，∴OC=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$．
∴OC=OP，
又PO⊥OC，PE=EC，
∴∠COE=45°．

点评 本题考查了线面、面面垂直的判定及其性质定理、空间角、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．