Question

14．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3+4coxθ\\ y=4+4sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=4sinθ．
（1）把C₁的参数方程化为极坐标方程；
（2）求C₁与C₂交点所在直线的极坐标方程．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}x=3+4coxθ\\ y=4+4sinθ\end{array}\right.$消去θ，得C₁的直角坐标方程，再将x=ρcosφ，y=ρsinφ代入能求出C₁的极坐标方程．
（2）先求出C₂的直角坐标方程，和C₁的直角坐标方程联立，求出C₁、C₂的交点所在直线方程，由此能求出其极坐标方程．

解答 （1）解：∵曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3+4coxθ\\ y=4+4sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），
∴由$\left\{\begin{array}{l}x=3+4coxθ\\ y=4+4sinθ\end{array}\right.$消去θ，得C₁的直角坐标方程：（x-3）²+（y-4）²=16，（2分）
即x²+y²-6x-8y+9=0
将x=ρcosφ，y=ρsinφ代入得C₁的极坐标方程为ρ²-6ρcosφ-8ρsinφ+9=0．（4分）
（2）解：∵曲线C₂的极坐标方程为ρ=4sinθ，
由ρ=4sinθ，得C₂的普通方程为：x²+y²-4y=0，（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}-6x-8y+9=0\\{x^2}+{y^2}-4y=0\end{array}\right.$，得：6x+4y-9=0，（8分）
∴C₁、C₂的交点所在直线方程为6x+4y-9=0
∴其极坐标方程为：6ρcosθ+4ρsinθ-9=0．（10分）

点评 本题考查极坐标方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直角坐标、极坐标互化公式的合理运用．