【题目】如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E,F,O分别为DC,AE,BC的中点.以AE为折痕把△ADE折起,使点D到达点P的位置,且平面PAE⊥平面ABCE(如图2).
(Ⅰ)求证:BC⊥平面POF;
(Ⅱ)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值;
(Ⅲ)在线段PE上是否存在点M,使得AM∥平面PBC?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)见解析
【解析】
(I)由面面垂直的性质定理得PF⊥平面ABCE,可得PF⊥BC,结合BC⊥OF,可得BC⊥平面POF;
(II)建立空间直角坐标系,计算平面PBC的法向量,通过计算法向量与
的夹角得出线面角的正弦值;
(III)设则
,令
,计算λ的值得出结论.
(Ⅰ)在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD中点,所以DA=DE,即PA=PE,
又F为AE的中点,所以PF⊥AE,又平面PAE⊥平面ABCE,平面PAE∩平面ABCE=AE,
PF平面PAE,所以PF⊥平面ABCE,BC平面ABCE,所以PF⊥BC,
由F,O分别为AE,BC的中点,易知FO∥AB,所以OF⊥BC,所以BC⊥平面POF,
(Ⅱ)过点O做平面ABCE的垂线OZ,以O为原点,分别以OF,OB,OZ为x,y,z轴建立坐标系O﹣xyz,
则
∴,设平面PBC的法向量为
由得
,令z=3得
,
,
所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值.
(Ⅲ)在线段PE上不存在点M,使得AM∥平面PBC.证明如下:
点M在线段PE上,设则
,
,
若AM∥平面PBC,则,
由得
,解得λ=2[0,1]
所以在线段PE上不存在点M,使得AM∥平面PBC.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的右顶点为
,左焦点为
,离心率
,过点
的直线与椭圆交于另一个点
,且点
在
轴上的射影恰好为点
,若
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过圆上任意一点
作圆
的切线
与椭圆交于
,
两点,以
为直径的圆是否过定点,如过定点,求出该定点;若不过定点,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】求满足下列条件的椭圆或双曲线的标准方程:
(1)椭圆的焦点在轴上,焦距为4,且经过点
;
(2)双曲线的焦点在轴上,右焦点为
,过
作重直于
轴的直线交双曲线于
,
两点,且
,离心率为
.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校学生会开展了一次关于“垃圾分类”问卷调查的实践活动,组织部分学生干部在几个大型小区随机抽取了共50名居民进行问卷调查.调查结束后,学生会对问卷结果进行了统计,并将其中一个问题“是否知道垃圾分类方法(知道或不知道)”的调查结果统计如下表:
年龄(岁) | ||||||
频数 | 14 | 12 | 8 | 6 | ||
知道的人数 | 3 | 4 | 8 | 7 | 3 | 2 |
(1)求上表中的的值,并补全右图所示的的频率直方图;
(2)在被调查的居民中,若从年龄在的居民中各随机选取1人参加垃圾分类知识讲座,求选中的两人中仅有一人不知道垃圾分类方法的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四边形ABCD是梯形,四边形CDEF是矩形,且平面ABCD⊥平面CDEF,∠BAD=∠CDA=90,,M是线段AE上的动点.
(1)试确定点M的位置,使AC∥平面DMF,并说明理由;
(2)在(1)的条件下,求平面MDF将几何体ADE-BCF分成的两部分的体积之比.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】苹果是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的富士苹果,各产地的包装规格相同,它们的批发价格(元/箱)和市场份额如下:
产地 | |||||
批发价格 | |||||
市场份额 |
市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.
(1)从该地批发市场销售的富士苹果中随机抽取一箱,求该箱苹果价格低于元的概率;
(2)按市场份额进行分层抽样,随机抽取箱富士苹果进行检验,
①从产地共抽取
箱,求
的值;
②从这箱苹果中随机抽取两箱进行等级检验,求两箱产地不同的概率;
(3)由于受种植规模和苹果品质的影响,预计明年产地的市场份额将增加
,产地
的市场份额将减少
,其它产地的市场份额不变,苹果销售价格也不变(不考虑其它因素).设今年苹果的平均批发价为每箱
元,明年苹果的平均批发价为每箱
元,比较
的大小.(只需写出结论)
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2019年4月20日,重庆市实施高考改革方案,2018年秋季入学的高中一年级的学生将实行“”模式.即“3”为全国统考科目语文、数学、外语所有学生必考;“1”为物理、历史科目中选择一科俗称“2选1”;“2”为再选学科,考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科俗称“4选2”,选择学科完全相同即为相同“组合”.某校高一年级有三名同学甲,乙,丙根据自己喜欢的大学和专业情况均选择了物理,为了了解“4选2”选科情况老师找这三名同学来谈话情况如下:
甲说:我选了化学,但没有选思想政治;
乙说:我与甲有一科相同,但没有选化学和地理;
丙说:我与甲有相同的选科,与乙也有相同选科,但我们三个选的“组合”都不相同.则下列结论正确的是( )
A.甲选了化学和地理B.丙可能选化学和思想政治
C.甲一定选地理D.丙一定选了生物和地理
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】给出下列五个命题:
①净三种个体按
的比例分层抽样调查,如果抽取的
个体为9个,则样本容易为30;②一组数据1、2、3、4、5的平均数、众数、中位数相同;③甲组数据的方差为5,乙组数据为5、6、9、10、5,那么这两组数据中较稳定的是甲;④已知具有线性相关关系的两个变量满足的回归直线方程为
.则
每增加1个单位,
平均减少2个单位;⑤统计的10个样本数据为125,120,122,105,130,114,116,95,120,134,则样本数据落在
内的频率为0.4其中真命题为( )
A. ①②④B. ②④⑤C. ②③④D. ③④⑤
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com