Question

【题目】如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E，F，O分别为DC，AE，BC的中点．以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置，且平面PAE⊥平面ABCE（如图2）．

（Ⅰ）求证：BC⊥平面POF；

（Ⅱ）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；

（Ⅲ）在线段PE上是否存在点M，使得AM∥平面PBC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析

【解析】

（I）由面面垂直的性质定理得PF⊥平面ABCE，可得PF⊥BC，结合BC⊥OF，可得BC⊥平面POF；

（II）建立空间直角坐标系，计算平面PBC的法向量，通过计算法向量与的夹角得出线面角的正弦值；

（III）设则，令，计算λ的值得出结论．

（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD中点，所以DA＝DE，即PA＝PE，

又F为AE的中点，所以PF⊥AE，又平面PAE⊥平面ABCE，平面PAE∩平面ABCE＝AE，

PF平面PAE，所以PF⊥平面ABCE，BC平面ABCE，所以PF⊥BC，

由F，O分别为AE，BC的中点，易知FO∥AB，所以OF⊥BC，所以BC⊥平面POF，

（Ⅱ）过点O做平面ABCE的垂线OZ，以O为原点，分别以OF，OB，OZ为x，y，z轴建立坐标系O﹣xyz，

则

∴，设平面PBC的法向量为

由得，令z＝3得，

，

所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值.

（Ⅲ）在线段PE上不存在点M，使得AM∥平面PBC．证明如下：

点M在线段PE上，设则， ,

若AM∥平面PBC，则，

由得，解得λ＝2[0，1]

所以在线段PE上不存在点M，使得AM∥平面PBC．