Question

【题目】已知椭圆的右顶点为，左焦点为，离心率，过点的直线与椭圆交于另一个点，且点在轴上的射影恰好为点，若．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过圆上任意一点作圆的切线与椭圆交于，两点，以为直径的圆是否过定点，如过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)；（2）以为直径的圆恒过坐标原点.

【解析】

（1）先根据离心率得，，再根据点B在椭圆上得B点纵坐标，最后根据三角形面积公式解得，即得，（2）先考虑直线的斜率不存在情况，确定定点，再利用韦达定理以及向量数量积论证圆过坐标原点.

（1）∵，∴，，

设，代人椭圆方程得： ，

∴ ，

∴，

∴，

∴，

∴椭圆的标准方程为.

（2）当直线的斜率不存在时，以为直径的圆的圆心为或，半径为2，

以为直径的圆的标准方程为： 或，

因为两圆都过坐标原点，∴以为直径的圆过坐标原点，

当直线的斜率存在时，设其方程为，，，

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，

，

所以，

由，

化简得：，

∴，，

∴

，

∴以为直径的圆过坐标原点，

综上，以为直径的圆恒过坐标原点.